Baire 函数空间的拓扑性质

Bourgain、Fremlin 与 Talagrand 证明的一个基本结果表明，Polish 空间 $M$ 上的 Baire 一类函数空间 $B_1(M)$ 是一个 angelic 空间。Stegall 推广了该结果，证明取值于赋范空间 $E$ 的 Baire 一类函数类 $B_1(M,E)$ 是 angelic 的。这些结果促使我们研究 Baire-$\alpha$ 函数类 $B_\alpha(X,G)$ 中的各种拓扑性质，其中 $\alpha$ 是非零可数序数，$G$ 是可度量化的非预紧 Abel 群，$X$ 是 $G$-Tychonoff 第一可数空间。具体而言，我们证明：(1) $B_\alpha(X,G)$ 是 $\kappa$-Fr\'{e}chet--Urysohn 空间，因此它是 Ascoli 空间；(2) $B_\alpha(X,G)$ 是 $k$-空间当且仅当 $X$ 是可数集。