零维度量空间 $X$ 上函数空间 $C_k(X,2)$ 的拓扑性质

设 $X$ 为零维度量空间，$X'$ 为其导集。我们证明以下命题：(1) 空间 $C_k(X,2)$ 是 Ascoli 空间当且仅当 $C_k(X,2)$ 是 $k_\mathbb{R}$-空间当且仅当 $X$ 是局部紧的，或者 $X$ 不是局部紧的但 $X'$ 是紧的；(2) $C_k(X,2)$ 是 $k$-空间当且仅当 $X$ 是一个 Polish 局部紧空间与一个离散空间的拓扑和，或者 $X$ 不是局部紧的但 $X'$ 是紧的；(3) $C_k(X,2)$ 是序列空间当且仅当 $X$ 是 Polish 空间且 $X$ 是局部紧的，或者 $X$ 不是局部紧的但 $X'$ 是紧的；(4) $C_k(X,2)$ 是 Fr\'echet--Urysohn 空间当且仅当 $C_k(X,2)$ 是 Polish 空间当且仅当 $X$ 是 Polish 局部紧空间；(5) $C_k(X,2)$ 是正规的当且仅当 $X'$ 是可分的；(6) $C_k(X,2)$ 具有可数紧度当且仅当 $X$ 是可分的。在情形 (1)-(3) 中，我们还得到了 $C_k(X,2)$ 的拓扑与代数结构。