论带标号的 $SL(n)$-skein 模

我们主要关注带标号的 $SL(n)$-skein 模的经典极限、分裂映射与 Frobenius 同态，以及带标号的 $SL(n)$-skein 代数的唯一性定理。设 $(M,N)$ 为一个带标三号流形。我们用 $S_n(M,N,v)$ 表示 $(M,N)$ 的带标号 $SL(n)$-skein 模，其中 $v$ 为非零复数。我们建立从 $S_n(M,N,1)$ 到某代数集的坐标环的满代数同态，并证明其核由所有幂零元组成。当 $N$ 只有一个分支且 $M$ 连通时，我们证明 $\pi_1(M)$ 的泛表示代数同构于 $S_n(M,N,1)$。进一步，我们证明当 $N\neq \emptyset$、$M$ 连通、且 $N^{'}$ 由 $N$ 添加一个额外标号得到时，$S_n(M,N^{'},1)$ 同构于 $S_n(M,N,1)\otimes O(SLn)$。我们还证明当 $v=1$ 时对任意带三号流形分裂映射单射，并表明若存在 $N$ 的至少一个分支使得该分支与分裂圆盘的边界属于 $\partial M$ 的同一分支，则分裂映射（对一般 $v$）单射。我们还建立了 $SL(n)$ 的 Frobenius 同态，即从 $S_n(M,N,1)$ 到 $S_n(M,N,v)$ 的映射，其中 $v$ 为 $m$ 次本原单位根且 $m$ 与 $2n$ 互素，且 $M$ 的每个分支至少包含一个标号。我们还证明了 Frobenius 同态与分裂映射的可交换性。当 $(M,N)$ 为本质带边 pb 曲面的加厚时，我们证明 Frobenius 同态单射且其像位于中心。当 $\Sigma$ 为本质带边 pb 曲面且 $v$ 为与 $2n$ 互素的 $m$ 次本原单位根时，我们证明带标号 $SL(n)$-skein 代数 $S_n(\Sigma,v)$ 是仿射几乎 Azumaya 的，这蕴含了 $S_n(\Sigma,v)$ 的唯一性定理。