Frobenius 映射下陈述 skein 模的有限性与维数

当量子参数 $q^{1/2}$ 是奇阶单位根时，陈述 skein 模 $S_{q^{1/2}}(M,\mathcal{N})$ 具有 $S_{1}(M,\mathcal{N})$-模结构，其中 $(M,\mathcal{N})$ 为带标记三维流形。我们证明当 $M$ 紧致时 $S_{q^{1/2}}(M,\mathcal{N})$ 是有限生成 $S_{1}(M,\mathcal{N})$-模，这进一步表明紧致带标记三维流形的约化陈述 skein 模是有限维的。我们还给出了当 $M$ 紧致时 $S_{q^{1/2}}(M,\mathcal{N})$ 在 $S_{1}(M,\mathcal{N})$ 上维数的上界。对于 pb 曲面 $\Sigma$，当 $q^{1/2}$ 为奇阶 $N$ 单位根时，用 $S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}$ 表示 Frobenius 映射的像。则 $S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}$ 位于陈述 skein 代数 $S_{q^{1/2}}(\Sigma)$ 的中心。令 $\widetilde{S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}}$ 为 $S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}$ 的分式域，$\widetilde{S_{q^{1/2}}(\Sigma)}$ 为 $S_{q^{1/2}}(\Sigma)\otimes_{S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}} \widetilde{S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}}$。我们证明 $\widetilde{S_{q^{1/2}}(\Sigma)}$ 在 $\widetilde{S_{q^{1/2}}(\Sigma)^{(N)}}$ 上的维数为 $N^{3r(\Sigma)}$，其中 $r(\Sigma)$ 等于 $\Sigma$ 的边界分支数减去 $\Sigma$ 的欧拉示性数。