有限一般线性群的单幂Specht模的U-模结构

设q为素数幂，$G=GL_n(q)$，$U\leqslant G$为G中（下）单位三角矩阵子群。对于λ是n的一个划分，用$S^\lambda$表示G上复数域$\C$上的相应单幂Specht模。猜想：对于$c\in \Z_{\geqslant 0}$，$S^\lambda$限制到U的表示$\RRes^{G}_U(S^\lambda)$的维数为$q^c$的不可约成分的个数是q的多项式，系数为整数，仅依赖于c和λ，与q无关。在划分$\lambda=(1^n)$的特殊情况下，这蕴含了一个长期未解决的Higman猜想，即U的共轭类个数应为q的多项式，系数为整数，仅依赖于n，与q无关。本文证明了当$\lambda=(n-m,m)$ $(0\leqslant m \leqslant n/2)$是二部分划分时猜想成立。作为推论，我们得到了由M. Brandt, R. Dipper, G. James和S. Lyle在文献中定义的$S^\lambda$的标准基（在特征与q互素的域上）的一个新的表示论构造，并解释了其中出现的秩多项式。