广义旗簇上的有理点与李型有限群中的单幂共轭

设 $G$ 是定义在有限域 $\FF_q$ 上的连通约化代数群，其中 $q$ 是 $G$ 的一个好素数的幂。我们记 $F$ 为对应于 $\FF_q$-结构的 $G$ 的弗罗贝尼乌斯态射，从而 $G^F$ 是一个李型有限群。设 $P$ 是 $G$ 的一个 $F$-稳定的抛物子群，$U$ 是 $P$ 的单幂根。在本文中，我们证明在 $G$ 的中心连通的假设下，$U^F$ 在 $G^F$ 中的共轭类个数由关于 $q$ 的一个多项式给出。这回答了 J. Alperin 在 \cite{alperin} 中的一个问题。为了证明上述结果，我们对单幂元 $u \in G^F$ 考虑由 $P$ 的、其单幂根包含 $u$ 的 $G$-共轭所构成的簇 $\CP^0_u$。我们证明 $\CP^0_u$ 的 $\FF_q$-有理点的个数由关于 $q$ 的一个整系数多项式给出。此外，在 $G$ 在 $\FF_q$ 上分裂且 $u$ 为分裂的（按 \cite[\S5]{shoji} 的意义）情形，该多项式的系数由 $\CP^0_u$ 的贝蒂数给出。我们也对由包含 $u$ 的 $P$ 的共轭构成的簇 $\CP_u$ 证明了类似的结果。