$\mathbb{P}^{1}$ 上带幂零截面的抛物主 G-丛的计数

设 $G$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的分裂连通约化群，$\mathbb{P}^1$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的射影直线。首先，我们给出 $G$ 的广义 Steinberg 簇的 $\mathbb{F}_{q}$-有理点个数的显式公式。其次，对于 $\mathbb{P}^1$ 上的每个主 $G$-丛，我们给出计数三元组个数的显式公式，该三元组由在 $0$ 和 $\infty$ 处的抛物结构以及相伴伴随丛的一个相容幂零截面组成。在 $GL_{n}$ 的情形下，我们计算了此类体积的生成函数，重新导出了 Mellit 的一个结果。