关于某些广义 Fermat 曲线及内接于双曲线的仿射正多边形弦

设 $\mathcal{G}$ 为定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的射影平面曲线，由 $$aX^nY^n-X^nZ^n-Y^nZ^n+bZ^{2n}=0$$ 给出，其中 $ab\notin\{0,1\}$，且对每个 $s\in\{2,\ldots,n-1\}$，令 $\mathcal{D}_s^{P_1,P_2}$ 为 $\mathcal{G}$ 上由所有经过 $\mathcal{G}$ 的奇点 $P_1=(1:0:0)$ 和 $P_2=(0:1:0)$ 的 $s$ 次曲线之线性系所截出的无基点的线性系列。本工作确定了在 $\mathcal{D}_s^{P_1,P_2}$ 为 $\mathbb{F}_q$-Frobenius 经典的情形下，$\mathcal{G}$ 的非奇异模型上 $\mathbb{F}_q$-有理点个数 $N_q(\mathcal{G})$ 的上界。作为推论，当 $\mathbb{F}_q$ 为素域时，所得 $N_q(\mathcal{G})$ 的界在若干情况下改进了关于内接于双曲线的仿射正多边形经过给定异于其顶点的点 $P$ 的弦数 $n_P$ 的已知界。