偏加法环与 ${\mathbb F}_1$ 上的群概型

我们发展了偏加法环的基础理论，作为 ${\mathbb F}_1$-几何的基础。我们的方法非常具体，使得经典代数几何的类似物得以非常直接地建立。作为应用，（1）我们构造了一种群概型 ${\mathbb GL}_n$，其在交换环 $R$ 处的值为 $R$ 上 $n\times n$ 可逆矩阵群，在 ${\mathbb F}_1$ 处的值为第 $n$ 对称群；（2）我们构造了作为某种概型的射影空间 $\mathbb P^n$，并计数了 ${\mathbb P}^n({\mathbb F}_q)$ 在 $q=1$ 或 $q=p^n$ 为有理素数幂时的点数，进而解释了 ${\mathbb F}_1$ 下标为 1 的原因，尽管它有两个元素。