蓝图几何。第一部分：代数背景与概形理论

在本文中，我们引入了蓝图范畴，这是一个包含交换（半）环和交换幺半群的代数对象范畴。这种推广允许同时处理环和幺半群的理想与同余，并导致一个统一的概形理论。特别是，它弥合了通常概形与$\mathbb{F}_1$-概形（根据Kato、Deitmar和Connes-Consani）之间的差距。除了这种统一之外，蓝图范畴还包含新的有趣对象，如$\mathbb{F}_1$的“改进”分圆域扩张$\mathbb{F}_{1^n}$和“阿基米德赋值环”。它还产生了半环概形的概念。本文为后续项目奠定了基础，这些项目致力于以下问题：Tits关于$\mathbb{F}_1$上Chevalley群的构想、同余概形、层上同调、$K$-理论以及关于$\mathbb{F}_1$的解析几何、adic空间（根据Huber）、解析空间（根据Berkovich）和热带几何的统一视角。