关于蓝图与 ${\mathbb F}_1$-概形的若干注记

在过去二十年中，人们提出了几种在 ${\mathbb F}_1$ 上定义几何的不同方法。本文依托 Toën 和 Vaquié 的形式体系，我们研究了一个新的概形范畴 ${\mathsf{Sch}}_{\widetilde{\mathsf B}}$，这些概形允许相对于 Lorscheid 引入的蓝图范畴有一个仿射概形的 Zariski 覆盖。蓝图可以被视为由一个幺半群 $M$ 和半环 $M \otimes_{{\mathbb F}_1} \mathbb N$ 上的一个关系构成的序对，它是某个对称幺半范畴 $\mathsf B$ 中的幺半群对象，我们证明该范畴是完备的、余完备的且闭的。我们证明每个 $\widetilde{\mathsf B}$-概形 $\Sigma$ 都可以通过伴随关系，同时与一个经典概形 $\Sigma_{\mathbb Z}$ 和一个 Deitmar 意义下的 ${\mathbb F}_1$ 上的概形 $\underline{\Sigma}$ 相关联，并附带一个自然变换 $\Lambda\colon \Sigma_{\mathbb Z}\to \underline{\Sigma}\otimes_{{\mathbb F}_1} {\mathbb Z}$。此外，作为应用，我们证明 A. Connes 和 C. Consani 定义的“${\mathbb F}_1$-概形”范畴可以自然地与 $\widetilde{\mathsf B}$-概形范畴融合，以获得一个更大的范畴，其对象我们称之为“带关系的 ${\mathbb F}_1$-概形”。