陈述型 $SL_n$-skein 模、单位根与 TQFT

对于一个带孔曲面 $\Sigma$，两个满足 $m\mid n$ 的正整数 $m,n$，以及交换整环 $R$ 中满足 $\epsilon^{2m} = 1$ 的两个可逆元 $v,\epsilon$，我们在陈述型 $SL_n$-skein 代数 $S_n(\Sigma,v)$ 和 $S_n(\Sigma,\epsilon v)$ 之间构造了一个 $R$-线性同构，该同构限制为 $S_n(\Sigma,v)$ 和 $S_n(\Sigma,\epsilon v)$ 子代数之间的代数同构。利用这一线性同构，我们证明了当 $v^{2m} = 1$ 且 $m\mid n$ 时，针对带孔曲面 $\Sigma$ 和理想弧 $c$ 的分裂映射 $\Theta_{c}:S_n(\Sigma,v)\rightarrow S_n(\text{Cut}_c(\Sigma),v)$ 是单射。我们将 Barrett 的工作推广到了 $SL_n$-skein 空间和陈述型 $SL_n$-skein 空间。作为一个应用，我们证明了当量子参数 $v=-1$ 时，带标记 3-流形的分裂映射总是单射。设 $(M,\mathcal{N})$ 为一个连通带标记 3-流形且 $\mathcal{N}\neq\emptyset$，$(M,\mathcal{N}')$ 是通过在 $(M,\mathcal{N})$ 上增加一个额外标记而得到的。当 $v^4 =1$ 时，我们证明了由嵌入 $(M,\mathcal{N})\rightarrow (M,\mathcal{N}')$ 诱导的从 $S_n(M,\mathcal{N},v)$ 到 $S_n(M,\mathcal{N}',v)$ 的 $R$-线性映射是单射，且 $S_n(M.\mathcal{N}',v) = S_n(M,\mathcal{N},v)\otimes_{R}O_{q_v}(SL_n)$，其中 $O_{q_v}(SL_n)$ 是 $SL_n$ 正则函数环的量子化。这表明 $S_n(M,\mathcal{N},v)$ 的分裂映射总是单射。我们形式化了陈述型 $SL_n$-TQFT 理论，该理论推广了 Costantino 和 L\^e 的陈述型 $SL_2$-TQFT 理论。