论 Rabi 模型的可解性与可积性

在解析函数 Bargmann 希尔伯特空间 ${\cal B}$ 的框架下研究了准精确可解的 Rabi 模型。通过应用正交多项式理论，证明了本征值方程和本征函数可由三组首一正交多项式确定。原本用无穷连分数表示的能量变量 $x$ 的形式化 Schweber 量子化判据，可以重写为复平面 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数 $F(z) = a_0 + \sum_{k=1}^\infty {\cal M}_k/(z-\xi_k)$，该函数具有{\em 实单}极点 $\xi_k$ 和{\em 正}留数 ${\cal M}_k$。$F(x)$ 在实轴上的零点决定了 Rabi 模型的能谱。由此可直接得出，在实轴上：(i) $F(x)$ 在其任意两个相邻极点 $\xi_k$ 和 $\xi_{k+1}$ 之间从 $+\infty$ 单调递减至 $-\infty$；(ii) 对于 $x\in (\xi_k,\xi_{k+1})$，$F(x)$ 恰好有一个零点；(iii) 对应于 $F(x)$ 零点的能谱没有任何聚点。此外，还可以提供更简单的证明，表明每个宇称本征空间 ${\cal B}_\pm$ 中的能谱必然是{\em 非简并}的。从而极大地简化了能谱的计算。我们的结果使得我们能够批判性地审视近期关于 Rabi 模型可解性和可积性的主张。