关于随机二次型：潜在局部极大值的支撑

在八十年代后期，John Kingman 研究了在维度渐增的单纯形 $n$ 上，具有独立均匀分布式系数的二次型极大值问题。特别地，他证明了潜在局部极大值的最大支撑大小（基数）$L_n$ 依概率至多为 $2.49 n^{1/2}$，并且对于 $[0,\infty)$ 上独立指数分布的非生物学情形，他将常数减小到 $2.14$。在本文中，我们证明常数 $2.14$ 适用于 $[0,1]$ 上广泛的一类密度，包括线性非减（即均匀）密度以及条件于 $[0,1]$ 的指数密度。我们还证明了一个定性匹配的下界：依概率，$L_n\ge 2n^{1/3}$ 至少成立。我们的论证还表明，大小从 $2$ 到 $\lceil 2n^{1/3}\rceil$ 的潜在极大值支撑的随机计数渐近于其期望值。最后我们证明，一个不包含局部平衡支撑的局部极大值支撑，其大小超过 $2\log_2 n$ 的可能性极小。