切比雪夫多项式、矩匹配与未观测部分的最优估计

我们考虑估计离散分布支撑集大小的问题，其中最小非零概率质量至少为 $\frac{1}{k}$。在独立采样模型下，我们证明了样本复杂度（即以至少 0.1 的概率实现 $\epsilon k$ 加性误差所需的最小样本量）在通用常数因子范围内为 $\frac{k}{\log k}\log^2\frac{1}{\epsilon}$，这改进了 \cite{VV13} 中 $\frac{k}{\epsilon^2 \log k}$ 的最先进结果。我们还获得了极小极大风险的类似刻画。我们的过程是一种基于切比雪夫多项式及其逼近论性质的线性估计量，可在 $O(n+\log^2 k)$ 时间内进行评估，并在渐近意义上以六倍因子内达到该样本复杂度。在各种合成数据集和真实数据集上，展示了所提估计量在准确性、计算效率和可扩展性方面的优越性。