局部一致随机排列极限曲面的连续性

局部一致随机排列是通过从平面上某个绝对连续分布 $\rho$ 中独立采样 $n$ 个点，并按如下规则将其解释为排列而生成的：若从左数第 $i$ 个点是从下数第 $j$ 个点，则 $i$ 映射到 $j$。当 $n$ 趋于无穷大时，排列中的递减子序列将在平面中表现为曲线，通过将其解释为等值线，递减子序列的并集构成了一个曲面。在作者近期的一篇论文中证明了，对于任意 $r\ge0$，在 $n$ 趋于无穷大时的适当缩放下，$\lfloor r\sqrt{n}\rfloor$ 个递减子序列的最大并集所构成的曲面会趋近一个极限，即它将逼近某个特定变分积分的最大值（且在合理假设下，该最大值本质上是唯一的）。在本文中，我们证明若 $\rho$ 具有有界密度与支撑集，则存在一个连续的最大值点。证明中的关键要素是一个关于在两个变量上均递增的二元实函数的新定理：我们证明，对于任意常数 $C$，可以在不增大其像集直径且不降低其偏导数乘积被 $C$ 截断（即该乘积与 $C$ 的最小值）的任何取值的情况下，使该函数变为连续。