关于 Leavitt 路径代数的类 Prüfer 性质

Prüfer 域以及整环的子类（如 Dedekind 域）可通过其理想格的性质来刻画。有趣的是，Leavitt 路径代数 $L$ 尽管是非交换且含有大量零因子，其理想格似乎具有这些特殊整环的刻画性质。在 [8] 中已证明 $L$ 的理想满足分配律（Prüfer 域的性质），且 $L$ 是乘环（Dedekind 域的性质）。本文中，我们首先证明 $L$ 满足 Prüfer 域的另两个刻画性质，它们是初等数论中两个定理的理想版本，即对于正整数 $a,b,c$，有 $\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=a\cdot b$ 和 $a\cdot \operatorname{gcd}(b,c)=\operatorname{gcd}(ab,ac)$。我们还证明 $L$ 满足几乎 Dedekind 域的一个刻画性质，涉及根理想为素理想的理想。最后，我们给出 $L$ 满足几乎 Dedekind 域另一重要刻画性质（即其非零理想的消去性质）的充要条件。