论区域与超曲面上的 Poincaré、Friedrichs 和 Korns 不等式

著名的 Poincaré 和 Friedrichs 不等式利用函数的梯度的 $\mathbb{L}_p$-范数来估计函数的 $\mathbb{L}_p$-范数。我们仅基于 Banach 空间的开映射定理，证明了区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 和超曲面 $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$ 上的 Poincaré 不等式。对于以超曲面为底的圆柱体，证明了涉及仅表面导数的更强不等式。同样证明了针对一致 $C$-范数的类似不等式。我们还估计了函数的 $\mathbb{H}^m_p$-范数，并证明了上述不等式的一些推广形式的不等式。我们还证明了针对向量函数的 Poincaré-Korns 和 Friedrichs-Korns 不等式，即仅利用变形张量的 $\mathbb{L}_p$-范数来估计函数的 $\mathbb{L}_p$-范数，适用于区域和超曲面。证明基于作者关于 Korns 不等式的论文 \cite{Du10}。同样，圆柱体中函数的范数是由圆柱体底面上的变形张量来估计的。