三维空间中具有共形不变位错能量的不相容张量场的 Korn 不等式

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 为具有 Lipschitz 边界和外法向单位向量 $\nu$ 的有界开集。对于 $1<p<\infty$，我们在新的 Banach 空间 $$W^{1,\,p,\,r}_0(\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{Curl}; \Omega,\mathbb R^{3\times3}) = \{ P \in L^p(\Omega,\mathbb R^{3\times3}) \mid \operatorname{dev} \operatorname{sym} \operatorname{Curl} P \in L^r(\Omega,\mathbb R^{3\times3}),\ \operatorname{dev} \operatorname{sym} (P \times \nu) = 0 \text{ on $\partial \Omega$}\}$$ 中建立了不相容张量场 $P$ 的广义 $L^p$-Korn 不等式的改进版本，其中 $$r \in [1, \infty), \qquad \frac1r \le \frac1p + \frac13, \qquad r >1 \quad \text{if $p = \frac32$.}$$ 具体而言，存在常数 $c=c(p,\Omega,r)>0$，使得不等式 $$\|P \|_{L^p}\leq c\,\left(\|\operatorname{sym} P \|_{L^p} + \|\operatorname{dev}\operatorname{sym} \operatorname{Curl} P \|_{L^{r}}\right)$$ 对所有张量场 $P\in W^{1,\,p, \, r}_0(\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{Curl})$ 成立。这里，$\operatorname{dev} X := X -\frac13 \operatorname{tr}(X)\,\mathbb{1}$ 表示 $3 \times 3$ 矩阵 $X$ 的偏量（无迹）部分，边界条件在适当的弱意义下理解。