任意维中具有 $p$ 可积外导数的不相容张量场的广义 Korn 不等式的 $L^p$ 版本

对于 $n\ge2$ 和 $1<p<\infty$，我们证明了不相容的、$p$ 可积张量场 $P:\Omega \to \mathbb{R}^{n\times n}$ 的广义 Korn 型不等式的 $L^p$ 版本，该张量场具有 $p$ 可积的广义 $\underline{\operatorname{Curl}}$ 以及广义消失切向迹 $P\,\tau_l=0$（在 $\partial \Omega$ 上），其中 $\{\tau_l\}_{l=1,\ldots, n-1}$ 表示 $\partial\Omega$ 上的活动切标架，更精确地我们有：$$\| P \|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{n\times n})}\leq c\,(\| \operatorname{sym} P\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{n \times n})} + \|\underline{\operatorname{Curl}} P \|_{L^p(\Omega,(\mathfrak{so}(n))^n)} ),$$ 其中广义 $\underline{\operatorname{Curl}}$ 由 $(\underline{\operatorname{Curl}})_{ijk} :=\partial_i P_{kj}-\partial_j P_{ki}$ 给出，且 $c=c(n,p,\Omega)>0$。