三维空间中不相容张量场的$L^p$无迹广义Korn不等式

对于 $1<p<\infty$，我们证明了不相容张量场 $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; \Omega,\mathbb{R}^{3\times3})$ 的广义无迹 Korn 不等式的 $L^p$ 版本。更确切地说，设 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 为有界 Lipschitz 区域。则存在常数 $c>0$，使得对所有张量场 $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; \Omega,\mathbb{R}^{3\times3})$（即对所有 $P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; \Omega,\mathbb{R}^{3\times3})$ 且在边界 $\partial\Omega$ 上切向迹 $P\times \nu=0$ 消失，其中 $\nu$ 表示 $\partial\Omega$ 的外单位法向量场，$\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$ 表示 $P$ 的偏量（无迹）部分）成立：$$\|{ P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})}\right)$$。我们还展示了张量场 $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; \Omega,\mathbb{R}^{3\times3})$ 的范数等价性：$$\|{ P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})}+\|{\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev}\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(\Omega,\mathbb{R}^{3\times3})}\right)$$。这些估计对于仅在边界的相对开（非空）子集 $\Gamma \subseteq \partial\Omega$ 上切向迹消失的张量场也成立。