关于具有排斥相互作用的平面 Schrodinger-Poisson 系统在质量超临界情形下的研究

本文研究了满足给定 $L^{2}$ 范数（即给定质量）条件下的平面 Schrodinger-Poisson (SP) 方程的解：\n\begin{equation*} -\Delta u+\lambda u+\alpha \left( \log |\cdot |\ast |u|^{2}\right) u=|u|^{p-2}u,\ \text{in}\ \Omega_{R} , \end{equation*}% 其中 $\lambda \in \mathbb{R}$ 为未知数，$\alpha <0,p>4$，且 $\Omega_{R} \subseteq \mathbb{R}^{2}$ 为一个域。首先，我们证明了对应于 $\mathbb{R}^{2}$ 中的 SP 方程的能量泛函 $J$ 在 Pohozaev 流形 $\mathcal{P}$ 上的上、下都无界；这解释了为何 $J$ 的极小值难以确定的原因，参见 [Cingolani and Jeanjean, SIAM J. Math. Anal., 2019]。其次，我们在较大的有界域 $\Omega_{R}$ 中建立了基态解和一个高能解，两者均具有正能量，这在解决 [Cingolani and Jeanjean, SIAM J. Math. Anal., 2019] 中提出的开放问题方面取得了实质性的进展。最后，我们分析了当域 $\Omega_{R}$ 扩展到整个空间 $\mathbb{R}^{2}$ 时解的渐近行为。