关于 p-角定义域

设 $S$ 为亏格 $g \geq 2$ 的闭黎曼曲面，$\varphi$ 为 $S$ 的 $p$ 阶（素数）共形自同构，使得 $S/\langle \varphi \rangle$ 的亏格为零。令 ${\mathbb K} \leq {\mathbb C}$ 为 $S$ 的一个定义域。我们给出一个论证：存在 ${\mathbb K}$ 的至多 $2(p-1)$ 次域扩张 ${\mathbb F}$，使得 $S$ 可由形如 $y^{p}=F(x) \in {\mathbb F}[x]$ 的曲线定义，此时 $\varphi$ 对应于 $(x,y) \mapsto (x,e^{2 \pi i/p} y)$。此外，若 $\varphi$ 也可在 ${\mathbb K}$ 上定义，则 ${\mathbb F}$ 可选为 ${\mathbb K}$ 的至多二次扩张。对于 $p=2$，即 $S$ 为超椭圆曲线且 $\varphi$ 为其超椭圆对合的情形，该事实归于 Mestre（对于偶亏格）以及 Huggins 与 Lercier-Ritzenthaler-Sijslingit（在 ${\rm Aut}(S)/\varphi\rangle$ 非平凡的情形）。