具有对称群 ${\mathbb Z}_{2}^{2} \rtimes {\mathbb Z}_{m}$ 的拟柏拉图曲线可在 ${\mathbb Q}$ 上定义

众所周知，每个亏格 $g \geq 2$ 的闭黎曼曲面 $S$，若容许共形自同构群 $G$ 使得 $S/G$ 具有三角签名，则可在 ${\mathbb Q}$ 的有限扩张上定义。就 $G$ 的代数结构而言，了解 $S$ 是否实际上可在 ${\mathbb Q}$ 上定义是很有趣的。若 $G$ 为阿贝尔群或同构于 $A \rtimes {\mathbb Z}_{2}$（其中 $A$ 为阿贝尔群），则属此情形。另一方面，如 Streit 与 Wolfart 所示，若 $G = {\mathbb Z}_{p} \rtimes {\mathbb Z}_{q}$，其中 $p,q>3$ 为素数，则 $S$ 未必可在 ${\mathbb Q}$ 上定义。在本文中，我们指出若 $G={\mathbb Z}_{2}^{2} \rtimes {\mathbb Z}_{m}$ 且 $m \geq 3$，则 $S$ 可在 ${\mathbb Q}$ 上定义。此外，我们给出了 $S$ 的显式模型、相应的自同构群，以及它们的雅可比簇作为超椭圆黎曼曲面雅可比簇之积的同素分解。