折纸曲线的自同构群

一个闭 Riemann 曲面 $S$（亏格至少为 1）若容许一个非常数全纯映射 $\beta:S \to E$，其至多有一个分支值，其中 $E$ 是亏格为 1 的 Riemann 曲面，则称为折纸曲线。此时，$(S,\beta)$ 称为折纸对，且 ${\rm Aut}(S,\beta)$ 是 $S$ 的保持 $\beta=\beta \circ \phi$ 的共形自同构 $\phi$ 组成的群。设 $G$ 为有限群。已知事实是 $G$ 可作为合适折纸对 $(S,\beta)$ 的 ${\rm Aut}(S,\beta)$ 的子群实现。亦已知 $G$ 可作为亏格 $g \geq 2$ 的 Riemann 曲面 $X$ 的共形自同构群实现，且商 orbifold $X/G$ 的亏格 $\gamma \geq 2$。给定如前所述的 $G$ 在曲面 $X$ 上的共形作用，我们证明存在一个折纸对 $(S,\beta)$，其中 $S$ 的亏格为 $g$ 且 $G \cong {\rm Aut}(S,\beta)$，使得 ${\rm Aut}(S,\beta)$ 在 $S$ 上的作用与 $G$ 在 $X$ 上的作用拓扑等价。