黎曼曲面的同调群自同构

若 $\Gamma$ 是一个有限生成 Fuchsian 群，且其导子群 $\Gamma'$ 是余紧且无挠的，则 $S={\mathbb H}^{2}/\Gamma'$ 是一个亏格 $g \geq 2$ 的闭黎曼曲面，容许阿贝尔群 $A=\Gamma/\Gamma'$ 作为共形自同构群。我们称 $A$ 为 $S$ 的一个同调群。一个自然的问题是 $S$ 是否容许唯一的同调群，换言之，是否存在不同的 Fuchsian 群 $\Gamma_{1}$ 与 $\Gamma_{2}$ 使得 $\Gamma_{1}'=\Gamma'_{2}$？已知若 $\Gamma_{1}$ 与 $\Gamma_{2}$ 均有相同型签名 $(0;k,\ldots,k)$（对某 $k \geq 2$），则等式 $\Gamma_{1}'=\Gamma_{2}'$ 保证 $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$。将此推广，我们观察到若 $\Gamma_{j}$ 有型签名 $(0;k_{j},\ldots,k_{j})$ 且 $\Gamma_{1}'=\Gamma'_{2}$，则 $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$。我们也给出具有不同同调群的曲面 $S$ 的例子。还得到了每个同调群 $A$ 在 ${\rm Aut}(S)$ 中正规化子的描述。