关于具有 $8a\pm1$ 型奇素因子与驯核的非同余数

设 $n$ 为正的无平方因子整数，其中 $n$ 的每个奇素因子都具有 $8a\pm 1$ 的形式。我们根据类群的 $4$-秩和一个 Jacobi 符号，确定了 $n$ 何时具有第二极小 $2$-主 Shafarevich-Tate 群而为非同余数。特别地，当 $n$ 的每个奇素因子都具有 $8a+1$ 的形式时，对于奇数 $n$ 该条件等价于 $\mathbb Q(\sqrt{n})$ 的驯核的 $4$-秩消失，或对于偶数 $n$ 等价于 $\mathbb Q(\sqrt{-n})$ 的驯核的 $4$-秩消失。这推广了先前的结果。