关于 10 的朋友的必要条件的一个注记

孤立数笼罩着神秘色彩。一个民间猜想断言 10 是一个孤立数，即它没有朋友。在本文中，我们证明如果 $N$ 是 $10$ 的朋友，那么它必须是具有至少七个不同素因子的奇数平方，且 $5$ 是其中最小的一个。此外，假设 $5^{2a}\mid \mid N$，则存在 $N$ 的一个素因子 $p$ 使得 $2a+1\equiv 0 \pmod f$ 且 $5^{f}\equiv 1 \pmod p$，其中 $f$ 是大于 $1$ 且小于或等于 $\min\{ 2a+1,p-1\}$ 的最小奇正整数。进一步，存在 $N$ 的素因子 $p$ 和 $q$（不一定不同）使得 $p\equiv1 \pmod {10}$ 且 $q\equiv 1\pmod 6$。此外，我们证明如果费马素数 $F_k$ 整除 $N$，那么 $N$ 必须有一个模 $2F_k$ 同余于 $1$ 的素因子。另外，如果我们将 $N$ 的形式考虑为 $N=5^{2a}m^2$，那么 $m$ 不是无平方因子的。进一步，我们证明 $\Omega(N)\geq 2\omega(N)+6a-4$，并且如果 $\Omega(m)\leq K$，那么 $N< 5\cdot 6^{(2^{K-2a+1}-1)^2}$，其中 $\Omega(n)$ 和 $\omega(n)$ 分别表示整数 $n$ 的素因子总数和不同素因子个数。