图的模边染色问题研究

给定图 $G$ 和整数 $k\geq 2$，记 $\chi'_k(G)$ 为对 $G$ 的边着色所需的最少颜色数，使得每个颜色类中由该颜色边诱导的子图的所有非零度都等于 $k$ 的倍数。1992 年，Pyber 证明 $\chi'_2(G) \leq 4$，并提出问题：是否可以仅以 $k$ 为界 $\chi'_k(G)$。1997 年，Scott 对此提出答案，证明 $\chi'_k(G)\leq5k^2\log k$，并进一步询问 $\chi'_k(G) = O(k)$ 是否成立。最近，Botler、Colucci 和 Kohayakawa (2023) 对 Scott 的问题肯定回答，证明 $\chi'_k(G) \leq 198k - 101$，并推测乘数常数可降低至 $1$。2024 年，Nweit 和 Yang 对此做出一步贡献，将上界改进为 $\chi'_k(G) \leq 177k - 93$。本文进一步将乘数常数降低到 $9$。更具体地，我们证明存在函数 $f\in o(k)$，使得当 $k$ 为奇数时 $\chi'_k(G) \leq 7k + f(k)$，当 $k$ 为偶数时 $\chi'_k(G) \leq 9k + f(k)$。在此过程中，我们证明对每个 $d$ -退化图 $G$ 都有 $\chi'_k(G) \leq k + O(d)$，这在我们的证明中发挥核心作用。