图的游戏着色指数的新上界

我们研究了一种双人游戏，其中 Maker 和 Breaker 轮流用 $k$ 种颜色对给定图 $G$ 的边进行着色，使得相邻边永远不会获得相同的颜色。Maker 的目标是进行游戏使得在游戏结束时所有边都被着色。反之，一旦存在一条未着色的边且每种颜色都被阻塞，Breaker 即获胜。游戏着色指数 $\chi'_g(G)$ 表示 Maker 拥有获胜策略的最小 $k$。对于每个图 $G$，平凡界 $\Delta(G) \le \chi_g'(G) \le 2\Delta(G)-1$ 成立，其中 $\Delta(G)$ 是 $G$ 的最大度。2008年，Beveridge、Bohman、Frieze 和 Pikhurko 证明了对于每个 $\delta>0$，存在常数 $c>0$ 使得 $\chi'_g(G) \le (2-c)\Delta(G)$ 对任何满足 $\Delta(G) \ge (\frac{1}{2}+\delta)v(G)$ 的图成立，并猜想同样的结论对每个图 $G$ 都成立。在本文中，我们证明了对于所有满足 $\Delta(G) \ge C \log v(G)$ 的图 $G$，$\chi'_g(G) \le (2-c)\Delta(G)$ 成立。此外，我们还考虑了该游戏的一个有偏版本，其中 Breaker 每回合被允许对 $b$ 条边进行着色，并给出了 Maker 赢得该有偏游戏所需颜色数量的界。