关于二次 $\mathbb{Q}$-曲线的 $L$-函数

设 $K$ 为判别式 $\Delta_K$ 的二次数域，$E$ 为完全定义在 $K$ 上的无 CM 的 $\mathbb Q$-曲线，$\omega_E$ 为 $E$ 上的不变微分。$L(E,s)$ 为 $E$ 的 $L$-函数。在此设定下，已知 $L(E,s)$ 可解析延拓至 $\mathbb C$。$E$ 的周期可以写成（直到 $2$ 的幂次）为 $E$ 的 Tamagawa 数与 $\Omega_E/\sqrt{|\Delta_K|}$ 的乘积，其中 $\Omega_E$ 是一个与 $\omega_E$ 无关的量，当 $K$ 为实二次域时编码 $E$ 的实周期，当 $K$ 为虚二次域时编码 $E$ 的周期格的协体积。本文在广义 Manin 猜想下，计算一个有效的非零整数 $Q=Q(E,\omega_E)$，使得若 $L(E,1)\neq 0$ 则 $L(E,1)\cdot Q\cdot\sqrt{|\Delta_K|}/\Omega_E$ 为整数。将 $L(E,1)$ 计算到足够高精度，我们的结果允许我们在成立时证明 $L(E,1)=0$，并在 $L(E,1)\neq 0$ 时计算 $L$-比 $L(E,1)\cdot\sqrt{|\Delta_K|}/\Omega_E$。一个重要组成部分是计算权为 $2$、水平为 $\Gamma_1(N)$ 的新形式 $f$ 的算法，使得 $L(E,s)=L(f,s)\cdot L({}^{\sigma\!} f,s)$，其中 ${}^{\sigma\!} f$ 是 $f$ 唯一的伽罗瓦共轭。作为这些结果的应用，我们验证了弱 BSD 猜想对于一些秩 $2$ 的 $\mathbb Q$-曲线的有效性，并将计算秩 $0$ 曲线的 $L$-比。