数域上椭圆曲线的玉河乘积

在近期的工作中，Griffin、Ono 和 Tsai 构造了一个 $L-$级数，证明了 $\mathbb{Q}$ 上短 Weierstrass 椭圆曲线中玉河乘积平凡的比例为 $0.5054\dots$，且平均玉河乘积为 $1.8183\dots$。继他们的工作之后，我们将他们的 $L-$级数推广到任意数域 $K$ 上，定义为 $$L_{\mathrm{Tam}}(K; s):=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{P_{\mathrm{Tam}}(K; m)}{m^s},$$ 其中 $P_{\mathrm{Tam}}(K;m)$ 是 $K$ 上玉河乘积为 $m$ 的短 Weierstrass 椭圆曲线的比例。然后我们构造马尔可夫链来计算所有数域 $K$ 和正整数 $m$ 下 $P_{\mathrm{Tam}}(K;m)$ 的精确值。作为一个推论，我们还计算了平均玉河乘积 $L_{\mathrm{Tam}}(K;-1)$。接着我们利用这些结果，根据 $K$ 的次数对 $P_{\mathrm{Tam}}(K;1)$ 和 $L_{\mathrm{Tam}}(K,-1)$ 给出一致的上界。最后，我们证明了存在数域序列 $K$，使得 $P_{\mathrm{Tam}}(K;1)$ 趋于 $0$ 且 $L_{\mathrm{Tam}}(K;-1)$ 趋于 $\infty$，也存在数域序列 $K$ 使得 $P_{\mathrm{Tam}}(K;1)$ 和 $L_{\mathrm{Tam}}(K;-1)$ 趋于 $1$。