$\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的玉河乘积

我们显式构造狄利克雷级数 $$L_{\mathrm{Tam}}(s):=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{P_{\mathrm{Tam}}(m)}{m^s},$$ 其中 $P_{\mathrm{Tam}}(m)$ 为短 Weierstrass 形式下玉河乘积为 $m$ 的椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 所占比例。尽管不存在处处好约化的 $E/\mathbb{Q}$，我们证明玉河乘积平凡的比例为 $P_{\mathrm{Tam}}(1)=0.5053\dots$。作为推论，我们发现 $L_{\mathrm{Tam}}(-1)=1.8193\dots$ 是 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的平均玉河乘积。我们给出这些结果在典则高度与 Weil 高度上的应用。