特殊椭圆曲线的常值 Tamagawa 数

对于椭圆曲线 $E_{\sigma 2D} : y^2 = x^3 + \sigma 2Dx$，其具有 2-同源曲线 $E'_{\sigma 2D} : y^2 = x^3 -\sigma 8Dx$，$\sigma = \pm 1,\ D = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}$，其中 $p_i$ 为不同的奇素数且 $e_i = 1 \text{ 或 } 3$，我们利用有限域 $\mathbb F_2$ 中的矩阵证明了这些椭圆曲线的 Tamagawa 数恒为 1 或 0。具体数值取决于 $\sigma$ 的值。通过对这些结果的证明，我们找到了一种方法，作为应用可快速筛出此类形式中 Mordell-Weil 秩为零或秩一的椭圆曲线的一部分。