椭圆曲线在二次扭转下的局部数据

设 $K$ 为完备离散价值环的分数域，余域为完美域. 本文研究了椭圆曲线 $E/K$ 在二次扭转下的 Tamagawa 数如何变化. 为此，我们引入了椭圆曲线 $E/K$ 的强最小模型的概念，即满足特定条件的最小 Weierstrass 模型，这使得我们能够轻易推断 $E/K$ 的局部数据. 我们的主要结果给出了强最小模型 $E/K$ 的 Weierstrass 系数条件，以确定二次扭转 $E^{d}/K$ 的局部数据. 我们指出，当余域特征为 $2$ 时，仅考虑特例 $K=\mathbb{Q}_{2}$. 在此情境下，我们进一步确定了 $E$ 与 $E^d$ 的最小鉴别数 valuation 与导数指数的计算条件.