Kramer-Tunnell 猜想的剩余情形

对于局部域 $K$ 上的椭圆曲线 $E$ 以及 $K$ 的可分二次扩张，受与 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想联系的启发，Kramer 和 Tunnell 猜想了一个用某种范数指数计算 $E$ 到该二次扩张的基变换的局部根数的公式。该公式在所有情形已知，除了 $K$ 为特征 $2$ 时的某些情形，我们通过将正特征情形约化到特征 $0$ 完成了其证明。为此约化，我们利用特征 $p$ 的局部域可由 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张逼近的原理——我们找到了一条定义在 $p$-进域上的椭圆曲线 $E'$，使得 $E'$ 的 Kramer-Tunnell 公式中的所有项都等于 $E$ 的对应项。