论广义通用无理旋转代数与算子 $u+v$

我们引入一类广义通用无理旋转 $C^*$-代数 $A_{\theta,\gamma}=C^*(x,w)$，其特征由关系式 $w^*w=ww^*=1$，$x^*x=\gamma(w)$，$xx^*=\gamma(e^{-2\pi i\theta}w)$ 以及 $xw=e^{-2\pi i\theta}wx$ 给出，其中 $\theta$ 为无理数，$\gamma(z)\in C(\mathbb{T})$ 为正函数。我们根据 $\gamma(z)$ 的零点刻画了 $A_{\theta,\gamma}$ 的迹线性泛函、单纯性以及 $K$-群。我们证明，若 $A_{\theta,\gamma}$ 是单纯的，则它是实秩为零的 $A{\mathbb T}$-代数。我们根据 $\theta$ 和 $\gamma(z)$ 的零点对 $A_{\theta,\gamma}$ 进行了分类。设 $A_\theta=C^*(u,v)$ 为满足 $vu=e^{2\pi i\theta}uv$ 的通用无理旋转 $C^*$-代数，则有 $C^*(u+v)\cong A_{\theta,|1+z|^2}$。作为应用，我们证明 $C^*(u+v)$ 是 $A_\theta$ 的一个真单纯 $C^*$-子代数，它具有唯一的迹，$K_1(C^*(u+v))\cong \mathbb{Z}$，且存在从 $K_0(C^*(u+v))$ 到 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\theta$ 的序同构。此外，$C^*(u+v)$ 是实秩为零的单式单纯 $A{\mathbb T}$-代数。我们还计算了 $u+v$ 的谱和 Brown 测度。