无理 $\Theta$-变形 CAR $C^*$-代数的分类

给定斜对称实 $n\times n$ 矩阵 $\Theta$，我们考虑由满足关系 $$a_i^* a_i + a_i a_i^* = 1,$$ $$a_i^* a_j = e^{2 \pi i \Theta_{i,j}} a_j a_i^*,$$ $$a_i a_j = e^{-2 \pi i \Theta_{i,j}} a_j a_i.$$ 的生成元 $a_1, \ldots, a_n$ 生成的 $*$-代数的泛包络 $C^*$-代数 $\mathsf{CAR}_\Theta$。我们证明 $\mathsf{CAR}_\Theta$ 具有 $C(K_n)$-结构，其中 $K_n = \left[ 0,\frac{1}{2} \right]^n$ 为超立方体，并描述其纤维。我们用高维非交换环面的不可约表示对 $\mathsf{CAR}_\Theta$ 的不可约表示进行分类。我们证明对于给定的无理斜对称 $\Theta_1$，仅存在有限多个 $\Theta_2$ 使得 $\mathsf{CAR}_{\Theta_1} \simeq \mathsf{CAR}_{\Theta_2}$。即 $\mathsf{CAR}_{\Theta_1} \simeq \mathsf{CAR}_{\Theta_2}$ 蕴含对双射 $\sigma:\{(i,j) : i < j, \ i, j = 1, \ldots, n\}\to\{(i,j) : i < j, \ i, j = 1, \ldots, n\}$ 有 $(\Theta_1)_{ij} = \pm (\Theta_2)_{\sigma(i,j)} \mod \mathbb{Z}$。对 $n = 2$ 我们给出完全分类：$\mathsf{CAR}_{\theta_1} \simeq \mathsf{CAR}_{\theta_2}$ 当且仅当 $\theta_1 = \pm \theta_2 \mod \mathbb{Z}$。