关于高阶空间分数阶狄拉克方程的基本解

从狄拉克算子 $\mathbf{D}=\sum_{j=1}^n\mathbf{e}_j\partial_{x_j}$ 的伪微分分解 $\mathbf{D}=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}\mathcal{H}$ 出发，该分解由一阶分数阶算子 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ 与 Riesz-Hilbert 型算子 $\mathcal{H}$ 构成，我们将研究 L\'evy-Feller 型空间分数阶狄拉克方程 $$\partial_t\Phi_\alpha(\mathbf{x},t;\theta)=-(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}\exp\left( \frac{i\pi\theta}{2} \mathcal{H}\right)\Phi_\alpha(\mathbb{x},t;\theta)$$ 的基本解，其中涉及阶数为 $\alpha$ 的分数阶拉普拉斯算子 $-(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$，满足 $2m\leq \alpha <2m+2$ ($m\in \mathbb{N}$)，以及指数算子 $\exp\left( \frac{i\pi\theta}{2} \mathcal{H}\right)$ 作为分数阶 Riesz-Hilbert 变换的超复对应物，其带有取值于 $|\theta|\leq \min\{\alpha-2m,2m+2-\alpha\}$ 的偏度参数 $\theta$。此类模型问题使我们能够获得高阶热型方程 $\partial_t F_M(x,t)=\kappa_M(\partial_x)^M F_M(x,t)$ $(M=2,3,\ldots)$ 基本解的超复对应形式，其中考虑 $\mathbf{D}$ 的偶次幂即 $\mathbf{D}^{2m}=(-\Delta)^{m}$ ($M=\alpha=2m$) 与奇次幂即 $\mathbf{D}^{2m+1}=(-\Delta)^{m+\frac{1}{2}}\mathcal{H}$ ($M=\alpha=2m+1$)。