低维空间中严格伪凸超曲面到球面的 CR 嵌入

根据第一作者、X. Huang 和 D. Zaitsev 在 2004 年的工作可知，任何从严格伪凸超曲面 $M^{2n+1}\subset\bC^{n+1}$ 到球面 $\bS^{2N+1}\subset \bC^{N+1}$ 的局部 CR 嵌入 $f$ 都是刚性的，即任何其他此类局部嵌入都是通过目标球面 $\bS^{2N+1}$ 的自同构与 $f$ 复合而得到的，前提是余维数 $N-n<n/2$。在本文中，我们考虑了最简单情形 $n=2$ 下的极限情况 $N-n=n/2$，即考虑局部 CR 嵌入 $f\colon M^5\to \bS^7$。我们证明了在不计与 $\bS^7$ 自同构复合的情况下，最多存在两个不同的局部嵌入。我们还根据其 CR 曲率识别了一类 5 维严格伪凸超曲面 $M^5$ 的子类，使得对于局部 CR 嵌入 $f\colon M^5\to \bS^7$ 成立刚性。