退化 CR 嵌入到球面的部分刚性

在本文中，我们研究了严格伪凸超曲面 $M\subset \mathbb{C}^{n+1}$ 到高维复空间 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中球面 $\mathbb{S}$ 的退化 CR 嵌入 $f$。映射 $f$ 的退化性将通过 CR 第二基本形式及其协变导数的秩来刻画。2004 年，作者与 X. Huang 和 D. Zaitsev 一起建立了低余维数下 CR 嵌入 $f$ 到球面的刚性结果。该证明的关键步骤是表明退化映射必然包含在目标球面的一个复平面截面中（部分刚性）。在 2004 年的论文中，证明了如果第二基本形式及其所有协变导数的总秩 $d$ 小于 $n$（此处 $n$ 为 $M$ 的 CR 维数），则 $f(M)$ 包含在一个维数为 $n+d+1$ 的复平面中。该命题的逆命题也成立，这显而易见。当秩 $d$ 超过 $n$ 时，一般而言 $f(M)$ 不再包含在维数为 $n+d+1$ 的复平面中，这一点可以通过例子看出。在本文中，我们对退化 CR 映射到球面进行了系统研究。我们表明，当第二基本形式及其协变导数的秩超过 CR 维数 $n$ 时，部分刚性可能仍然存在，但会产生一个源于秩超过 $n$ 的“缺陷”$k$，使得 $f(M)$ 仅包含在维数为 $n+d+k+1$ 的复平面中。此外，如例子所示，这种缺陷在一般情况下确实会发生。