关于具有两个断点的圆周同胚的共轭

设$f_i\in C^{2+\alpha}(S^1\setminus \{a_i,b_i\}), \alpha >0, i=1,2$为具有两个断点$a_i,b_i$的圆周同胚，即导数$f_i'$的间断点，它们具有相同的无理旋转数$\rho$，且$\mu_1([a_1,b_1])= \mu_2([a_2,b_2])$，其中$\mu_i$为$f_i$的不变测度。假设$Df_1$和$Df_2$的跳跃比之积不相等，即$\frac{Df_1(a_1-0)}{Df_1(a_1+0)}\times \frac{Df_1(b_1-0)}{Df_1(b_1+0)}\neq \frac{Df_2(a_2-0)}{Df_2(a_2+0)}\times \frac{Df_2(b_2-0)}{Df_2(b_2+0)}$。则共轭$f_1$和$f_2$的映射$\psi$为奇异函数，即它在$S^1$上连续，但关于Lebesgue测度几乎处处有$D\psi = 0$。