分段光滑圆周映射的非刚性

设 $f_{i},$ $i=1,2$ 为具有两个断点的分段光滑 $C^{1}$ 圆周同胚，$\log Df_{i},$ $i=1,2$ 在 $Df_{i}$ 的每个连续区间上绝对连续，且对于某个 $p>1$ 有 $D\log Df_{i}\in L^{p}$。假设 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 在其断点处的跳跃比不相等但具有相同的总跳跃（即跳跃比的乘积），且具有相同的有界型无理旋转数。那么 $f_{1}$ 与 $f_{2}$ 之间的共轭 $h$ 是一个奇异函数，即它在 $S^1$ 上连续，但相对于 Lebesgue 测度几乎处处有 $Dh(x)=0$。