论 Koszul 与高阶预投射分次的兼容性

我们研究 almost Koszul 或 Koszul 代数 $R$ 的分次兼容性，该代数同时也是 $n$-hereditary 代数 $A$ 的高阶预投射代数 $\Pi_{n+1}(A)$。对于 $n$-representation finite 代数 $A$，我们证明如果 $\Pi_{n+1}(A)$ 能够被赋予 almost Koszul 分次，则 $A$ 必须是 Koszul 的。对于无环 basic 的 $n$-representation infinite 代数 $A$，我们证明如果 $\Pi_{n+1}(A)$ 能够被赋予 Koszul 分次，则 $A$ 必须是 Koszul 的。由此我们推导出，在上述两种情况下，(almost) Koszul 代数 $R = \Pi_{n+1}(A)$ 的高阶预投射分次与 (almost) Koszul 分次的一个切割同构。在对不同分次的 $0$ 次子代数的顶部作进一步假设的前提下，我们还在去掉 basic 假设的 $n$-representation infinite 情形中证明了类似的结果。作为应用，我们证明 $n$-APR 倾斜变换保持 $n$-representation infinite 代数的 Koszul 性质。