关于有限群元素阶上定义的一种新图

本文引入了一种称为有限群$G$的互素阶图（coprime order graph）、记作$\Theta(G)$的新图结构。Ma、Wei和Yang所引入的有限群互素图（coprime graph）[\textit{The coprime graph of a group. International Journal of Group Theory, 3(3), pp.13-23.}]是本文所引入的互素阶图的一个子图。$\Theta(G)$的顶点集为$G$，且$\Theta(G)$中任意两个顶点$x,y$相邻当且仅当$\gcd(o(x),o(y))$等于$1$或一个素数。我们研究了$\Theta(G)$的图性质与$G$的群性质之间的相互关系。我们给出了对任意有限群$G$而言$\Theta(G)$为欧拉图的充要条件。我们还针对某些有限群（如$\mathbb Z_n$和$\mbox D_n$）研究$\Theta(G)$，并推导出当$n\in \mathbb N$取不同值时其连通、完全、平面及哈密顿的条件。我们还研究了$\Theta(\mathbb Z_n)$对各类$n\in \mathbb N$的顶点连通度。最后，我们对$G=\mathbb Z_n$和$G=\mbox D_n$（其中$n\in \{pq,p^m\}$，$p,q$为不同素数且$m\in \mathbb{N}$）计算了$\Theta(G)$的无符号拉普拉斯谱。