某些四维线性群的 OD-刻画及相关度模式结果

有限群 $G$ 的素图记为 ${\rm GK}(G)$，是一个简单图，其顶点集由 $|G|$ 的素因子组成，两个不同的素因子 $p$ 和 $q$ 之间有一条边当且仅当 $G$ 中存在一个阶为 $pq$ 的元素。设 $p_1<p_2<...<p_k$ 是 $|G|$ 的所有素因子。则 $G$ 的度模式定义为 ${\rm D}(G)=(\deg_G(p_1), \deg_G(p_2),..., \deg_G(p_k))$，其中 $\deg_G(p)$ 表示顶点 $p$ 在 ${\rm GK}(G)$ 中的度数。若对于每个满足 $|G|=|H|$ 且 ${\rm D}(G)={\rm D}(H)$ 的有限群 $G$ 都有 $G\cong H$，则称有限群 $H$ 是 OD-可刻画的。本文的目的有三。首先，它找到了任意有限群 $G$ 的 $\vartheta(G)$（即 ${\rm GK}(G)$ 中所有顶点度数之和）的精确上下界（定理 2.1）。其次，它给出了任意有限单李型群在其素图中顶点 2 和基域特征 $p$ 的度数（命题 3.1-3.7）。第三，它证明了线性群 $L_4(19)$、$L_4(23)$、$L_4(27)$、$L_4(29)$、$L_4(31)$、$L_4(32)$ 和 $L_4(37)$ 是 OD-可刻画的（定理 4.2）。