关于 $S(t)$ 的一个水平类 Selberg 结果

设 $S(t,f)=\pi^{-1}\arg L(1/2+it, f)$，其中 $f$ 为权重为 2 且素数水平 $q$ 的全纯 Hecke cusp 形式。在本文中，我们建立了 $S(t,f)$ 矩的一个无条件渐近公式，提供了 $S(t)$ 关于水平类的 Selberg 经典工作的类比。作为结果，我们推导出 $S(t,f)$ 按 $\sqrt{\log\log q}$ 正规化后的分布的加权中心极限定理。为此，我们通过截断 Dirichlet 级数对 $S(t,f)$ 进行精确逼近，并运用对应 $L$ 函数族的加权零密度估计。