关于源自跟车模型的时滞微分方程：匀速波前解及其稳定性

本研究关注一个标量时滞微分方程 \begin{equation*} z^{\prime\prime}(t)=h^2\,V(z(t-1)-z(t))+h\,z^\prime(t) \end{equation*} 的研究，该方程源于无界直线上的简单跟车模型。此处，正实数 $h$ 表示某个参数，$V$ 是所涉及交通模型的一个所谓\textit{optimal velocity function}。我们分析了解 $z(t)=c\,t+d$（其中 $t\in\mathbb{R}$，$c,d\in\mathbb{R}$）的存在性和局部稳定性性质。在 $c\not=0$ 的情况下，该微分方程这样的解构成了跟车模型的波前解，其中所有车辆在直线上的间距均匀并以相同的恒定速度移动。特别地，证明了这些波前解中除一个以外均位于由 $h$ 参数化的两个分支上。此外，我们证明了沿其中一个分支所有解由于线性化不稳定性原理而不稳定，而沿另一分支部分解可能稳定。最后一点是通过进行中心流形约化完成的，因为线性化总是具有零特征值。最后，我们给出一些数值例子以展示所得解析结果。