临界空间中纳维-斯托克斯初值问题非唯一性的数值研究

我们考虑 $\mathbb{R}^3$ 中不可压缩纳维-斯托克斯方程的柯西问题，针对一族显式的尺度不变轴对称初值（该初值远离原点光滑，且关于 $xy$-平面反射不变）。在轴对称场类中，我们数值计算了柯西问题的尺度不变解（以其光滑的剖面函数表示）。对于小数据，解必然是唯一的；但对于大数据，我们观察到初值反射对称性通过叉形分岔被打破。根据Jia & Šverák (2013)先前结果的变体，严格可知：如果此处数值所见行为能被证明，则可建立柯西问题的最优非唯一性例子，并且对于相同初值（无散度、远离原点光滑、紧支撑、且在原点附近局部(-1)-齐次）可存在两个不同的解。特别地，假设我们的（有限维）数值计算忠实代表了完整（无限维）系统的行为，则Leray-Hopf解（具有非光滑初值）的唯一性问题有否定答案，此外，诸如Kato (1984)与Koch & Tataru (2001)的扰动论证，或Leray、Prodi、Serrin、Ladyzhenskaya等人的弱-强唯一性结果，已经给出了本质上最优的结果。数值计算中不涉及奇点，因为我们只使用光滑剖面函数。可以设想将我们的计算提升为计算机辅助证明，尽管这将涉及大量额外工作和计算，包括对解在远距离处渐近展开的更详细分析。