带指数临界增长的混合 $(p,2)$-Laplacian 方程在 $\mathbb R^2$ 中的归一化基态

我们研究混合 $(p,2)$-Laplacian 方程\n\begin{align*}\n\begin{cases}\n-\Delta_p u-\Delta u+\lambda u=f(u) & \text{in } \mathbb{R}^2, \displaystyle \int_{\mathbb{R}^2}|u|^2\,\mathrm{d}x=m, u\in H^1(\mathbb{R}^2)\cap D^{1,p}(\mathbb{R}^2),\n\end{cases}\n\end{align*}\n其中 $\Delta_p$ 表示 $p$-Laplacian，$1<p<2$，$\lambda\in\mathbb{R}$ 表示拉格朗日乘子，nonlinearity $f$ 具有指数临界增长。与单一 Laplacian 情形相比，这里缺乏规则性使得 Pohozaev 恒等式不可得，指数临界增长严重损害紧凑性的恢复。为此，我们引入适用于指数临界增长的细化 Moser 迭代技术，从而在仅假设 $C_{\mathrm{loc}}^{1,\alpha}$-正则性条件下建立 Pohozaev 恒等式。通过结合 $L^2$-球内闭区域上的约束最小化与鞍点特征，我们证明了任意给定质量 $m>0$ 的归一化基态的存在性。值得注意的是，我们的方法独立于拉格朗日乘子 $\lambda$ 的符号，从而克服了在混合 Laplacian 问题中恢复紧凑性的根本障碍。